微分应用核心知识点总结

一、函数的极值（4.1 Maximum and Minimum Values）

1. 极值定义

类型	定义	关键特征
绝对最大值（Absolute Maximum）	对定义域$D$内所有$x$，满足$f(c)\ge f(x)$，则$f(c)$为绝对最大值	定义域内的最高值
绝对最小值（Absolute Minimum）	对定义域$D$内所有$x$，满足$f(c)\le f(x)$，则$f(c)$为绝对最小值	定义域内的最低值
局部最大值（Local Maximum）	存在$c$的邻域$U(c,\delta )$，对邻域内所有$x\in U(c,\delta )$，满足$f(c)\ge f(x)$	局部范围内的最高值
局部最小值（Local Minimum）	存在$c$的邻域$U(c,\delta )$，对邻域内所有$x\in U(c,\delta )$，满足$f(c)\le f(x)$	局部范围内的最低值

2. 核心定理

• 极值定理（Extreme Value Theorem）：若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$\mathrm{\exists }{\xi }_1,{\xi }_2\in [a,b]$，使得$f({\xi }_1)=\underset{x\in [a,b]}{max}f(x)$，$f({\xi }_2)=\underset{x\in [a,b]}{min}f(x)$。
• 费马定理（Fermat’s Theorem）：若$f(x)$在$x=c$处有局部极值且$f^{\prime }(c)$存在，则$f^{\prime }(c)=0$。
  • 反例：$f(x)=x^3$，$f^{\prime }(0)=3\cdot 0^2=0$，但$x=0$处无极值；
  • 特例：$f(x)=|x|$，$f^{\prime }(0)$不存在，但$x=0$是局部最小值。

3. 关键概念与方法

• 临界数（Critical Number）：满足$f^{\prime }(c)=0$或$f^{\prime }(c)$不存在的点$c\in D$（$D$为$f(x)$定义域）。
• 闭区间法（Closed Interval Method）：求连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的绝对极值：
  1. 求$(a,b)$内的所有临界数$c_1,c_2,...,c_n$；
  2. 计算$f(a),f(c_1),f(c_2),...,f(c_n),f(b)$；
  3. 比较大小：$max\{f(a),f(c_1),...,f(b)\}$为绝对最大值，$min\{f(a),f(c_1),...,f(b)\}$为绝对最小值。

二、中值定理（4.2 The Mean Value Theorem）

1. 基础定理

• 罗尔定理（Rolle’s Theorem）：若$f(x)$满足： ① 在$[a,b]$上连续；② 在$(a,b)$内可导；③ $f(a)=f(b)$， 则$\mathrm{\exists }c\in (a,b)$，使得$f^{\prime }(c)=0$。

• 拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）：若$f(x)$满足： ① 在$[a,b]$上连续；② 在$(a,b)$内可导， 则$\mathrm{\exists }c\in (a,b)$，使得：

  $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

  几何意义：曲线$y=f(x)$在点$(c,f(c))$处的切线与割线$AB$（$A(a,f(a)),B(b,f(b))$）平行。

2. 推论与应用

• 推论1：若$\mathrm{\forall }x\in (a,b)$，$f^{\prime }(x)=0$，则$f(x)\equiv C$（$C$为常数，$x\in (a,b)$）。
• 推论2：若$\mathrm{\forall }x\in (a,b)$，$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$，则$f(x)=g(x)+C$（$C$为常数）。
• 物理意义：设$s(t)$为位移函数，则$\mathrm{\exists }{t}_0\in (t_1,t_2)$，使得瞬时速度$v(t_0)=s^{\prime }(t_0)=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$（平均速度）。

三、导数与函数形状（4.3 How Derivatives Affect the Shape of a Graph）

1. 函数的单调性

• 增减性测试（I/D Test）：
  • 若$\mathrm{\forall }x\in I$，$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$I$上严格递增；
  • 若$\mathrm{\forall }x\in I$，$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$I$上严格递减。

2. 函数的凹凸性

• 凹凸性定义：
  • 凹函数（Concave Up）：$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I$，$\mathrm{\forall }\lambda \in (0,1)$，有$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$，且$f^{″}(x)>0$；
  • 凸函数（Concave Down）：$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in I$，$\mathrm{\forall }\lambda \in (0,1)$，有$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)>\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$，且$f^{″}(x)<0$。
• 拐点（Inflection Point）：点$(c,f(c))$为拐点，当且仅当$f^{″}(c)=0$（或$f^{″}(c)$不存在），且$f^{″}(x)$在$x=c$两侧符号改变。

3. 极值的判定方法

• 第一导数测试（First Derivative Test）： 设$c$为$f(x)$的临界数，$f(x)$在$c$处连续：

  • 若$f^{\prime }(x)$在$c$左侧正、右侧负，则$f(c)$为局部最大值；
  • 若$f^{\prime }(x)$在$c$左侧负、右侧正，则$f(c)$为局部最小值；
  • 若$f^{\prime }(x)$在$c$两侧符号不变，则$f(c)$非极值。

• 第二导数测试（Second Derivative Test）： 若$f^{\prime }(c)=0$且$f^{″}(c)$存在：

  • 若$f^{″}(c)>0$，则$f(c)$为局部最小值（$f^{″}(c)=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(c)}{x-c}=\underset{x\to c}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x-c}>0$，$f^{\prime }(x)$左负右正）；
  • 若$f^{″}(c)<0$，则$f(c)$为局部最大值；
  • 若$f^{″}(c)=0$，测试失效（如$f(x)=x^4$，$f^{″}(0)=0$，$x=0$是最小值；$f(x)=x^3$，$f^{″}(0)=0$，$x=0$无极值）。

四、曲线绘制指南（4.5 Summary of Curve Sketching）

绘制曲线$y=f(x)$的步骤

1. 定义域（Domain）：确定$D(f)=\{x\mid f(x)\text{有定义}\}$；
2. 截距（Intercepts）：
   • $y$截距：$x=0$时，$y=f(0)$（若$0\in D(f)$）；
   • $x$截距：解方程$f(x)=0$（求实根）；
3. 对称性（Symmetry）：
   • 偶函数：$f(-x)=f(x)$，关于$y$轴对称；
   • 奇函数：$f(-x)=-f(x)$，关于原点对称；
   • 周期函数：$\mathrm{\exists }T>0$，$f(x+T)=f(x)$，周期为$T$；
4. 渐近线（Asymptotes）：
   • 水平渐近线：若$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L_1$或$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L_2$，则$y=L_1/y=L_2$为水平渐近线；
   • 垂直渐近线：若$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$或$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$，则$x=a$为垂直渐近线；
   • 斜渐近线：若$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=m\ne 0$，且$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-mx]=b$，则$y=mx+b$为斜渐近线；
5. 单调性与极值：求$f^{\prime }(x)$，确定临界数，用第一/第二导数测试找单调区间和极值；
6. 凹凸性与拐点：求$f^{″}(x)$，确定$f^{″}(x)=0$的点，判断凹凸区间和拐点；
7. 绘制曲线：标注渐近线（虚线）、截距、极值点$(c,f(c))$、拐点$(x_0,f(x_0))$，按单调性/凹凸性连接。

五、常见题型与解题要点

1. 求函数极值： 例：求$f(x)=x^3-3x^2+1$在$[-1,3]$上的极值。 解：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$，临界数$x=0,2$； $f^{″}(x)=6x-6$，$f^{″}(0)=-6<0$（$x=0$为极大值点，$f(0)=1$）； $f^{″}(2)=6>0$（$x=2$为极小值点，$f(2)=-3$）； 端点值$f(-1)=-3$，$f(3)=1$； 绝对最大值为$1$（$x=0/3$），绝对最小值为$-3$（$x=-1/2$）。

2. 证明不等式： 例：证明当$x>0$时，$x-\frac{x^2}{2}<\ln (1+x)<x$。 证：构造$f(x)=\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}>0$（$x>0$）， $f(0)=0$，故$f(x)>0$（$x>0$），即$\ln (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$； 构造$g(x)=x-\ln (1+x)$，$g^{\prime }(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$（$x>0$）， $g(0)=0$，故$g(x)>0$（$x>0$），即$\ln (1+x)<x$。

3. 方程根的个数判断： 例：判断$x^3-3x+1=0$的实根个数。 解：$f(x)=x^3-3x+1$，$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$； 极值：$f(-1)=3$（极大值），$f(1)=-1$（极小值）； $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$， 故方程有3个实根（分别在$(-\mathrm{\infty },-1)$、$(-1,1)$、$(1,+\mathrm{\infty })$内）。

4. 实际应用： 例：求周长为$L$的矩形的最大面积。 解：设长为$x$，宽为$\frac{L}{2}-x$，面积$S(x)=x(\frac{L}{2}-x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{L}{2}x$； $S^{\prime }(x)=-x+\frac{L}{2}$，临界数$x=\frac{L}{4}$； $S^{″}(x)=-1<0$，故$x=\frac{L}{4}$时面积最大，$S_{\text{max}}=\frac{L^2}{16}$（正方形）。

六、核心公式速记

1. 拉格朗日中值定理：$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a<c<b)$
2. 临界数判定：$f^{\prime }(c)=0$ 或 $f^{\prime }(c)$ 不存在（$c\in D(f)$）
3. 凹凸性判定：
   • 凹函数：$f^{″}(x)>0(x\in I)$
   • 凸函数：$f^{″}(x)<0(x\in I)$
4. 斜渐近线公式：$$m=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-mx]$$
5. 闭区间极值：$max/min\{f(a),f(c_1),f(c_2),...,f(b)\}$