积分技巧核心知识点总结（7.1-7.5）

一、7.1 分部积分法（Integration by Parts）

1. 核心公式与推导

由乘积求导公式 $\frac{d}{dx}(uv)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 积分变形而来，核心公式：

$$\int udv=uv-\int vdu$$

• 本质：将复杂的 $\int u{v}^{\prime }dx$ 转化为简单的 $\int u^{\prime }vdx$，适用于“乘积型”被积函数（无明显代换结构）。

2. $u$ 和 $dv$ 选择策略（LIATE 原则，优先级从高到低）

• $L$（对数函数）：如 $\ln x$、${\log }_{a}x$
• $I$（反三角函数）：如 $\arcsin x$、$\arctan x$
• $A$（代数函数）：如 $x^n$、$ax+b$
• $T$（三角函数）：如 $\sin x$、$\cos x$
• $E$（指数函数）：如 $e^x$、$a^x$
• 口诀：优先选 $u$ 为 LIATE 靠前的函数，$dv$ 为剩余部分（确保 $v$ 易求、$\int vdu$ 更简单）。

3. 典型示例

（3）循环积分：$\int e^x\sin xdx$

• 需两次分部积分，设 $u=\sin x$（首次），再设 $u=\cos x$（第二次），最终移项求解：$$\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$$

（2）对数函数积分：$\int \ln xdx$

• 选择：$u=\ln x$（对数函数），$dv=dx$
• 计算：$du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$$$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C$$

（3）循环积分：$\int e^x\sin xdx$

• 需两次分部积分，设 $u=\sin x$（首次），再设 $u=\cos x$（第二次），最终移项求解：$$\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C$$

4. 注意事项

• 被积函数为单一对数/反三角函数时，$dv=dx$；
• 多项式次数较高时，需多次分部积分（每次降低多项式次数）；
• 循环积分需保留原积分项，移项后合并求解。

二、7.2 三角积分（Trigonometric Integrals）

1. 核心类型：$\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$（$m,n$ 为非负整数）

（1）策略：利用三角恒等式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 转化

• 若 $m$ 为奇数（$m=2k+1$）：拆出 $\sin x$ 作 $du$，剩余 ${\sin }^{2k}x=(1-{\cos }^{2}x{)}^k$
  示例：$\int {\sin }^{3}x\cos xdx$$$\int \sin x(1-{\cos }^{2}x)\cos xdx\stackrel{u=\cos x}{=}-\int (u-u^3)du=\frac{{\cos }^{2}x}{2}-\frac{{\cos }^{4}x}{4}+C$$
• 若 $n$ 为奇数（$n=2k+1$）：拆出 $\cos x$ 作 $du$，剩余 ${\cos }^{2k}x=(1-{\sin }^{2}x{)}^k$；
• 若 $m,n$ 均为偶数：用倍角公式降幂（${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$）。

2. 辅助类型：$\int {\tan }^{m}x{\sec }^{n}xdx$

• 若 $n$ 为偶数（$n=2k$）：拆出 ${\sec }^{2}x$ 作 $du$（${\sec }^{2}xdx=d(\tan x)$），剩余 ${\sec }^{2k-2}x=(1+{\tan }^{2}x{)}^{k-1}$；
• 若 $m$ 为奇数（$m=2k+1$）：拆出 $\sec x\tan x$ 作 $du$（$\sec x\tan xdx=d(\sec x)$），剩余 ${\tan }^{2k}x=({\sec }^{2}x-1{)}^k$。

3. 关键恒等式

• 平方关系：${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$，${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$；
• 倍角公式：$\sin 2x=2\sin x\cos x$，$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$。

三、7.3 三角代换（Trigonometric Substitution）

1. 核心目的

通过三角代换消除被积函数中的根号（如 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$），转化为有理三角积分。

2. 三大代换类型（$a>0$）

根号形式	代换公式	辅助恒等式	$dx$ 转换
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$（$\theta \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$）	$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$	$dx=a\cos \theta d\theta$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$（$\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$）	$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$	$dx=a{\sec }^2\theta d\theta$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$（$\theta \in [0,\frac{\pi }{2})\cup (\frac{\pi }{2},\pi ]$）	${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$	$dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$

3. 典型示例：$\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}dx$

• 代换：$x=2\sin \theta$，$dx=2\cos \theta d\theta$，$\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$；
• 计算：$\int \frac{2\cos \theta }{2\cos \theta }d\theta =\int d\theta =\theta +C$；
• 回代：$\theta =\arcsin \frac{x}{2}$，最终结果：$\arcsin \frac{x}{2}+C$。

4. 注意事项

• 代换后需用辅助直角三角形回代原变量（避免保留 $\theta$）；
• 定积分需同步转换积分上下限（可省略回代步骤）。

四、7.4 有理函数积分（Rational Functions Integration）

1. 核心步骤：部分分式分解

有理函数形式：$\frac{P(x)}{Q(x)}$（$P(x),Q(x)$ 为多项式），需先转化为“多项式 + 真分式”（真分式：分子次数 < 分母次数）。

（1）预处理：假分式转真分式

若分子次数 ≥ 分母次数，先做多项式除法：$\frac{P(x)}{Q(x)}=\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式}+\frac{\mathrm{余}\mathrm{式}}{Q(x)}$
示例：$\frac{x^3-5x+8}{x^2+3x-28}=x-3+\frac{4x-4}{x^2+3x-28}$。

（2）分母因式分解（关键）

将 $Q(x)$ 分解为一次因式、重复一次因式、二次不可约因式（$a{x}^2+bx+c$，$b^2-4ac<0$）的乘积。

（3）部分分式分解规则

分母因式类型	分解形式
单一次因式 $(ax+b)$	$\frac{A}{ax+b}$（$A$ 为常数）
重复一次因式 $(ax+b{)}^k$	$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(ax+b{)}^k}$
单二次因式 $a{x}^2+bx+c$	$\frac{Bx+C}{a{x}^2+bx+c}$（$B,C$ 为常数）
重复二次因式 $(a{x}^2+bx+c{)}^k$	$\frac{B_{1}x+C_1}{a{x}^2+bx+c}+\cdots +\frac{B_{k}x+C_k}{(a{x}^2+bx+c{)}^k}$

2. 示例：$\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}dx$

• 分解：设 $\frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$，解得 $A=1$，$B=1$；
• 积分：$\int (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2})dx=\ln |x-1|+\ln |x+2|+C$。

五、7.5 积分策略（Strategy for Integration）

1. 优先级流程（从简到繁）

1. 直接积分：对照基本积分公式（如 $\int x^{n}dx$、$\int \sin xdx$），无需技巧；
2. 第一类换元（凑微分）：观察被积函数是否含“复合函数 + 内层导数”（如 $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}\int e^{2x}d(2x)$）；
3. 分部积分：乘积型函数（无凑微分结构），遵循 LIATE 原则；
4. 三角积分/代换：含三角函数乘积或根号（$\sqrt{a^2\pm x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$）；
5. 有理函数积分：分式形式，按“多项式除法 + 部分分式分解”步骤求解。

2. 常见题型快速匹配

被积函数特征	推荐技巧
对数/反三角函数（单一形式）	分部积分（$dv=dx$）
多项式 × 指数/三角函数	分部积分（$u$ 选多项式）
含 ${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$ / ${\tan }^{m}x{\sec }^{n}x$	三角积分（恒等式降幂）
含 $\sqrt{a^2\pm x^2}$ / $\sqrt{x^2-a^2}$	三角代换
分式（分子分母为多项式）	部分分式分解

3. 关键提醒

• 灵活组合技巧：如“三角代换 + 分部积分”“换元 + 三角积分”；
• 无法用初等函数表示的积分：如 $\int e^{x^2}dx$、$\int \frac{\sin x}{x}dx$，需保留原积分形式或用数值方法；
• 验证结果：对积分结果求导，需与被积函数一致。