Eric's Notes

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积分核心知识点总结 ​

一、定积分（Definite Integral） ​

1. 定义 ​

通过黎曼和（Riemann Sum）极限定义：

∫abf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(xi∗)Δx

其中 Δx=b−an，xi∗ 为第 i 个子区间的样本点（左端点/右端点/中点）。

2. 几何意义 ​

  • 若 f(x)≥0：曲线下的面积；
  • 一般情况：净面积（x轴上方面积 - x轴下方面积）。

3. 核心性质 ​

  1. 反向积分：∫baf(x)dx=−∫abf(x)dx，∫aaf(x)dx=0；
  2. 线性运算：∫ab[kf(x)±lg(x)]dx=k∫abf(x)dx±l∫abg(x)dx；
  3. 区间拆分：∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx；
  4. 比较性质：若 f(x)≥g(x)，则 ∫abf(x)dx≥∫abg(x)dx；
  5. 对称函数：
    • 偶函数（f(−x)=f(x)）：∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx；
    • 奇函数（f(−x)=−f(x)）：∫−aaf(x)dx=0。

4. 近似计算 ​

  • 矩形法：左端点（Ln）、右端点（Rn）、中点法（Mn）；
  • 核心逻辑：分割区间→近似矩形面积→求和逼近真实值。

二、微积分基本定理（FTC） ​

1. 第一部分（导数与积分的逆关系） ​

若 g(x)=∫axf(t)dt（f 连续），则：

g′(x)=f(x)

即“积分后求导，回到原函数”。

2. 第二部分（定积分计算核心） ​

若 F 是 f 的一个原函数（F′=f），则：

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)

（记为 F(x)|ab），将定积分转化为原函数的端点差值计算。

三、不定积分（Indefinite Integral） ​

1. 定义 ​

原函数的全体：∫f(x)dx=F(x)+C（C 为积分常数），表示所有满足 F′(x)=f(x) 的函数。

2. 基本积分公式（核心常用） ​

被积函数积分结果
k（常数）kx+C
xn（n≠−1）xn+1n+1+C
1x$\ln
exex+C
sin⁡x−cos⁡x+C
cos⁡xsin⁡x+C
sec2⁡xtan⁡x+C
11−x2sin−1⁡x+C

四、换元积分法（Substitution Rule） ​

1. 不定积分换元 ​

设 u=g(x)（可导），则 du=g′(x)dx，得：

∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du

核心：将复杂复合函数积分转化为简单函数积分。

2. 定积分换元 ​

换元同时替换积分上下限：

∫abf(g(x))g′(x)dx=∫g(a)g(b)f(u)du

无需回代原变量，直接计算新变量的定积分。

3. 常见换元场景 ​

  • 复合函数内层：u=ax+b、u=xn+c；
  • 三角函数：u=sin⁡x、u=cos⁡x；
  • 指数/对数：u=ex、u=ln⁡x。

五、核心应用 ​

  1. 面积计算：曲线下面积、区域面积（通过净面积或拆分区间）；
  2. 物理应用：
    • 位移/距离：∫t1t2v(t)dt（位移），∫t1t2|v(t)|dt（距离）；
    • 速率积分：功率→能量、泄漏率→总泄漏量、增长率→总增量；
  3. 净变化定理：∫abF′(x)dx=F(b)−F(a)，积分是变化率的净累积。

六、关键注意事项 ​

  1. 定积分是数值，不定积分是函数族（必加积分常数 C）；
  2. 积分存在条件：f 在 [a,b] 连续或仅有有限个跳跃间断点；
  3. 换元法核心：找到 u 使得 du 与被积函数中的部分因子匹配；
  4. 公式适用范围：注意定义域（如 ∫1x2dx=−1x+C 不适用于 x=0）。